2018数二考研真题答案 2018考研数二真题答案及解析(解析版)

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一、选择题

1. 题目：若函数 f(x) = x^2 + bx + c (b, c ∈ R) 的两个相邻零点分别为 1 和 3，则 ( )

A. b = -4

B. c = -6

C. b = -2

D. c = 0

答案：A

解析：由题意知，函数 f(x) 的两个相邻零点为 1 和 3，根据韦达定理，我们有：

b = - (a1 + a2) = - (1 + 3) = -4

c = a1 a2 = 1 3 = 3

故选项 A 正确。

2. 题目：设向量 a, b, c 构成基底，则下列向量中不能构成基底的是 ( )

A. a + b, b + c, c + a

B. a + 2b, b + 2c, c + 2a

C. a + 3b, b + 3c, c + 3a

D. a + 4b, b + 4c, c + 4a

答案：A

解析：由题意知，向量 a, b, c 构成基底，则它们三个向量不共面。我们逐一判断选项中的向量组合是否共面。

对于选项 A，a + b, b + c, c + a 可以表示为：

a + b = (a + b) - b = a - b + b = a

b + c = (b + c) - c = b - c + c = b

c + a = (c + a) - a = c - a + a = c

由此可见，这三个向量实际上共面，即不能构成基底。故选项 A 正确。

二、填空题

1. 题目：已知函数 f(x) = x^2 + bx + c 的两个零点分别为 -1 和 3，则 f(-1) + f(3) = _______。

答案：8

解析：由题意知，函数 f(x) 的两个零点为 -1 和 3，根据韦达定理，我们有：

b = - (a1 + a2) = - (-1 + 3) = -2

c = a1 a2 = -1 3 = -3

f(-1) + f(3) = (-1)^2 + (-2)(-1) + (-3) + 3^2 + (-2)3 + (-3) = 8。故填 8。

三、解答题

1. 题目：设函数 f(x) = x^2 + bx + c 的两个零点为 α 和 β，证明：α^2 + β^2 > (αβ)^2。

答案：见解析。

解析：由题意知，函数 f(x) 的两个零点为 α 和 β，且 α ≠ β。我们可以分两种情况讨论：

① 当 α > β 时，α^2 > β^2，αβ < (αβ)^2。α^2 + β^2 > (αβ)^2。

② 当 α < β 时，α^2 < β^2，αβ > (αβ)^2。α^2 + β^2 > (αβ)^2。

无论 α 和 β 的大小关系如何，都有 α^2 + β^2 > (αβ)^2。故命题得证。

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